Orta Öğretim Kurumlarına  Girişte Yeni Sistem: SEVİYE BELİRLEME SINAVI ( SBS)

Doğal Sayılar Tam Sayılar

I. DOĞAL SAYILAR

A. TANIMLAR

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere denir.

Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine denir.

abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.

Sayma Sayıları

S = {1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir.

Doğal Sayılar

N ={0, 1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir.

Roma Rakamları

B. DOĞAL SAYILARDA ARADA OLMA

İki doğal sayı arasında bulunan doğal sayıların adedi, bu iki sayının farkından 1 eksiktir.

C. SAYI BASAMAĞI

Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birine bu sayının basamağı denir.

Bir doğal sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar basamaklıdır. 243 üç basamaklı bir sayıdır.

D. ÇÖZÜMLEME

Doğal sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri, rakamların sayıda bulundukları basamaklar göz önüne alınmadan aldıkları değerlere sayı değeri denir.

Basamak değerlerinin toplamı şeklinde gösterilişine o sayının çözümlenmiş biçimi denir.

·         ab = 10 . a + b

·         abc = 100 . a + 10 . b + c

·         aaa = 111 . a

·         ab + ba = 11 . (a + b)

·         ab – ba = 9 . (a – b)

·         abc – cba = 99 . (a – c)

TAM SAYILAR

TAM SAYILAR KÜMESİ VE ÖZELİKLERİ

Tam Sayı Kavramı

Hava raporunu dinlerken, bazı illerimizde hava sıcaklığının +15, +21 derece ve bazı illerimizde ise sıfırın altında 10,12 veya –10, -20 derece şeklinde ifadeler duyarız.Hava sıcaklığını termometre ile ölçeriz.Termometrede “0” ın altındaki sıcaklıklara ise eksi (-) sıcaklıklar denir.
Deniz seviyesinin yüksekliği “0” kabul edilir.Yükseklikler pozitif (+), derinlikler negatif (-) sayılarla gösterilir.
Günlük hayatta “Borcu sıfırladık” gibi sözler duyarız.Bu hiç borcun kalmadığı, borcun “0” olduğu anlamına gelir.Buna göre alacaklarımızı pozitif (+), borcumuzu da negatif (+) sayılarla ifade edebiliriz.
Bu örneklerden anlaşılacağı gibi “0” dan büyük sayılara ihtiyacımız olduğu gibi bazı kavramları ifade edebilmek için “0” dan küçük sayılara da ihtiyacımız vardır.
Sıfırdan büyük olan; +1, +2, +3, +4,... gibi sayılara Pozitif Tam Sayılar ve bu sayıların oluşturduğu kümeye de Pozitif Tam Sayılar Kümesi denir.Pozitif tam sayılar kümesi Z+ ile gösterilir.
Buna göre ,
Z+ = {+1, +2, +3, +4,...}
dir.
Sıfırdan küçük olan ; -1, -2, -3, -4,... gibi sayılara Negatif Tam Sayılar ve negatif tam sayıların oluşturduğu kümeye de Negatif Tam Sayılar Kümesi denir.Negatif tam sayılar kümesi Z- ile gösterilir.
Buna göre,
Z- = {-1, +2, +3, +4,...}
dir.
Pozitif tam sayılar,negatif tam sayılar ve “0” ın oluşturduğu kümeye Tam Sayılar Kümesi denir.Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir.
Buna göre,
Z = Z- U {0} U Z+
={...,-4, -3, -2, -1} U {+1, +2, +3, +4,...}
={..., -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4,...}

Tam Sayıların Sayı Doğrusunda Gösterilmesi
Bir doğru çizip üzerinde bir O noktası işaretleyelim.İşaretlediğimiz noktaya sıfır yazalım.Bir birim uzunluk seçerek O noktasından sağa doğru, A, B, C, D,... ve sola doğru, A’,
B’ ,C’, D’,... noktalarını işaretleyelim.
O noktasını sıfır sayısını karşılık getirmiştik.İşaretlediğimiz sağdaki A, B, C, D... noktalarına, sırası ile +1, +2, +3, +4,... ve soldaki A’, B’ , C’ ,D’,... noktalarına da sırası ile, -1, -2, -3, -4,.... sayılarını karşılık getirerek yazalım.Böylece devam ederek, tam sayılar kümesini sayı doğrusu üzerinde gösterebiliriz.
Gördüğümüz gibi, her tam sayıya sayı doğrusu üzerinde bir nokta karşılık gelmektedir.Bu noktaya o tam sayının görüntüsü denir.
0 noktasının görüntüsü : 0
A noktasının görüntüsü : +1
A’ noktasının görüntüsü : -1 gibi.

Örnekler:
1. –3, +1, -5, +7 sayı doğrusunda gösterelim.

A B O C D
, , , , , , , , , , , , , , ,
-5 -3 +1 +7





2. Aşağıda sayı doğrusu üzerinde işaretlenen noktalara karşılık gelen tam sayıları bulalım.
A B O C D
‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘

A noktasının görüntüsü ; -1 C noktasının görüntüsü ; +5
B noktasının görüntüsü ; +1 D noktasının görüntüsü ; -3

En küçük pozitif tam sayı ; +1
En büyük negatif tam sayı ; -1 dir.

3. –3 ile –2 arasındaki tam sayılar kümesi C olsun.C kümesini elemanlarıyla yazalım.

-3 ile –2 arasında tam sayı yoktur.O halde,C=Ǿ olur.

4. –3 ile –9 arasındaki negatif tam sayılar kümesini yazalım.
A = {-8, -7, -6, -5, -4}
olur.
5. –4 ile +4 arasında hangi tam sayılar vardır?Küme ile gösterelim.
B = {-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,...}
olur.

Tam Sayıların Doğal Sayılarla İlişkisi
Aşağıdaki kümelerin elemanlarını sayı doğrusunda gösterelim.
N = {0, 1, 2, 3, 4...}
Z = {...,-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4,...}

‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘
-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

Gördüğümüz gibi,doğal sayılar kümesinin bütün elemanları tam sayılar kümesinin de elemanlarıdır.Tam sayılar kümesi,doğal sayılar kümesini kapsamaktadır.Doğal sayılar kümesini kapsamaktadır.Doğal sayılar kümesi,tam sayılar kümesinin alt kümesidir.
Buna göre; N kapsar Z
yazılabilir.O halde;
Her doğal sayı bir tam sayıdır.
Bunun için; önüne işaret koymadığımız tam sayıları (doğal sayıları) pozitif tam sayı olarak düşüneceğiz.Yani,
3=+3, 28=+28, 125=+125
olacaktır.
{0} U Z+ kümesini bulalım.
{0} U Z+ = {0} U {+1, +2, +3, +4,...} = { 0, +1, +2, +3, +4,...}
ve doğal sayılar kümesi, N = {0, 1, 2, 3, 4,...} olduğundan
N= {0} U Z+
olur.

Mutlak Değer
Aşağıda sayı doğrusu üzerinde işaretlenen noktalar,” 0” başlangıç noktasına kaçar birim uzaklıktadır?
3 birim 3 birim IOAI = IOA’I = 1 birim
IOBI = IOB’I = 2 birim
2 birim 2 birim IOCI = IOC’I = 3 birim
IODI = IOD’I = 4 birim
1b 1b 1b

D’ C’ B’ A’ O A B C D
, , , , , , , , , ,
...-4 -1 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4...

Bir tam sayının eşlendiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına o tam sayının mutlak değeri denir.Bir “a” tam sayısının mutlak değeri,I a I sembolü ile gösterilir.
O halde; I-1I = 1, I+1I = 1, I-2I = 2, I+2I = 2, I-3I = 3, I+3I = 3, I-4I = 4, I +4I = 4 tür.
Buna göre;
I-1I = I+1I = 1, I-2I = I+2I = 2,
I-3I = I+3I = 3, I-4I = I+4I = 4

olur.Buradan şu sonucu çıkarabiliriz.
Mutlak değerleri eşit olan tam sayılar,başlangıç noktasına eşit uzaklıktadır.

Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.
1. I-25I = 25 4. I+79I = 79

2. I-9I = 9 5. I-218I = 218

3. I+9I = 9 6. I-1450I = 1450 tir.

Tam Sayıların Karşılaştırılması
Bir gün hava sıcaklığı saat 02 de 0o ve saat 05 te –10o,saat 20 de 7o olarak ölçülüyor.Hangi saatte sıcaklık derecesi daha fazladır?
+7 derece 0o den büyüktür.Öyleyse, 0<+7 dir.
-10 derece 0o den küçüktür.Öyleyse, -10<0 dır.
Buna göre, -10<0<+7 buluruz.
Aşağıda sayı doğrusu üzerinde verilen tam sayıları inceleyelim.
, , , , , , , , , , , ,
-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

Sayı doğrusu üzerinde bulunan tam sayıların değeri sağa doğru artıyor.Sola doğru azalıyor.Bir tam sayı sağındaki bütün tam sayılardan küçük,solundaki bütün tam sayılardan büyüktür.

Örnekler:
1. 0<+7<+11 4. 0<+1<+2<+3

2. -2<-1<0 5. –3<-2<-1<0

3. -10<-5<-3 6. –3<-2<-1<0<+1<+2<+3

Buna göre;
1. Pozitif tam sayılar “0” dan büyük,negatif tam sayılar “0” dan küçüktür.
2. Pozitif sayılar,mutlak değeri arttıkça büyür,azaldıkça küçülür.
3. Negatif sayılar,mutlak değeri azaldıkça (sıfıra yaklaştıkça) büyür,mutlak değeri arttıkça (sıfırdan uzaklaştıkça) küçülür.

Aşağıdaki verilen sayıları karşılaştıralım.
I-8I ile +5; I-8I = 8 olduğundan, I-8I>+5 tir.

I-3I ile –2; I-3I = 3 olduğundan, I-3I>-2 dir.


TAM SAYILAR KÜMESİNDE TOPLAMA İŞLEMİ

Aynı İşaretli İki Tam sayının Toplamı
Hava sıcaklığı sıfırın üstünde 3o dir.Sıcaklık 4 derece yükselirse kaç derece olur?

Hava sıcaklığı; 3o +4o = 7 olur.
Sıfırın üstündeki sıcaklıklar pozitif tam sayılarla belirtildiğinde,yapılan işlemin karşılığı;
(+3)+(+4) = +7
ifadesidir.
Toplama işlemini sayı doğrusu üzerinde yapalım.


Sayı doğrusunda sağa doğru olan yön pozitif,sola doğru olan yön negatif yöndür.Buna göre,sıfırdan sağa doğru 3 birim sayar +3’ün eşlendiği noktayı buluruz.Bulduğumuz noktadan sağa doğru 4 birim daha sayarak toplamın eşlendiği noktayı buluruz.Bulduğumuz noktanın görüntüsü olan (+7) sayısı; (+3) ile (+4) ün toplamıdır.



+3


+4

‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8


+7
Buna göre; (+3)+(+4) = +7 bulunur.

toplam
toplanan
terimler

Görüldüğü gibi,toplamın işareti ile toplanan terimlerin işareti aynıdır.Toplamın mutlak değeri ise toplanan sayıların mutlak değerleri toplamına eşittir.
Pozitif iki tam sayının toplamı bir tam sayıdır.

Hava sıcaklığı –4 olduğu bir anda,hava 2 derece soğuyor.
Sıcaklık kaç derece olur?Sıcaklık derecesi –4o den iki derece aşağıya inerse –6o olur.İşlemi sayı doğrusu üzerinde yapalım.
(-4) + (-2) işlemini yapmak için; sayı doğrusunda “0” dan başlayıp negatif yönde (sola doğru) önce 4 sonra,2 birim sayalım.Bulduğumuz son noktanın görüntüsü (-6) (toplam) olur.
-4
-2

, , , , , , , , , , , ,
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3

Buna göre;(-4) + (-2) = -6’dır.

Negatif iki tam sayının toplamı negatif bir tam sayıdır.

Örnekler: 1. (+12) + (+13) = +25 3. (-7) + (-3) = 10

2. (+15) + (+10) + (+8) 4. (-11) + (-9) + (-5)

=(+25) +(+8) = 33 = (-20) + (-5) = -25

Aynı işaretli tam sayılar toplanırken; sayıların mutlak değerleri toplanır,ortak işaret de toplamın işareti olarak yazılır.

Zıt işaretli iki tam sayının toplamı

(+8) + (-5) işleminin sonucu nedir?
Toplama işlemini sayı doğrusunda inceleyelim.


+8
-5

, , , , , , , , , , , ,
-2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9


Sayı doğrusu üzerinde “0” dan sağa doğru 8 birim sayarsak (+8) in eşlendiği noktayı,bu noktadan geriye (sola) 5 birim sayarsak (toplam) (+3) ü buluruz.
(+8) + (-5) = +3
Bu toplama işleminde toplamın işareti,mutlak değeri büyük olan terimin işaretinin aynıdır.Toplamın mutlak değeri ise toplanan iki terimin mutlak değerlerinin farkıdır.
Zıt işaretli iki tam sayı toplanırken,toplanan terimlerin mutlak değerlerinin farkı alınır,mutlak değeri büyük olanın işareti olarak yazılır.

Örnekler:
1. (-9) + (+4) = -5 4. (-7) + 0 = -7

2. (+18) + (-10) = +8 5. 0+ (+14) = +14

3. (-27) + (+15) = (-12) 6. (+31) + (-40) = -9

(+5) + (-5) işlemini sayı doğrusunda gösterelim.
+5

, , , , , , , , , ,
-2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7


-5

(+5) + (-5) = 0 dır.
Mutlak değerleri eşit ve işaretleri zıt olan tam sayılara toplama işlemine göre birbirinin tersi denir.
Toplamaya göre birbirinin tersi olan iki sayının toplamı “0” dır.

Örnekler:
1. (-14) + (+6) + ( -1) + (+11) + (-5) + (-7) işlemini yapalım.

Aynı işaretli sayılar kendi aralarında toplanırsa;
(-14) + (+6) + (-1) + (+11) + (-5) + (-7) = (-27) + (+17)
= -10 olur.

2. (+3) + (-18) + (+13) + (-2) + (+5) + (-1) = (+21) + (-21)
= 0

TAM SAYILAR KÜMESİNDE ÇIKARMA İŞLEMİ
(-8) + a = -13 işleminde bilinmeyen terimi bulalım.
(-8) sayısını hangi sayı ile toplanırsa –13 eder?
Bu işlemde bilinmeyen terimin; a = -5 olduğunu kolayca bulabiliriz.
(-8) + a = -13 ise toplam 13 ten bilinen terimi çıkarırsak,

a = (-13) – (-8)
bulunur.

a = -5 yazarsak

-5 = (-13) – (-8) veya

(-13) – (-8) = -5 bulunur.


Eksilen Çıkan Fark
Bu çıkarma işleminde farkı bulmak için eksilen (-13) sayısını,çıkan (-8) sayısının toplama işlemine göre tersi olan (+8) ile toplayalım.
(-13) – (-8) = (-13) + (+8) = -5 tir.Bulunan sonuç aynıdır.

O halde;
İki tam sayının farkı bulunurken,eksilen sayı çıkan sayının toplamaya göre tersi ile toplanır.
(+9) – (+5) işleminin sayı doğrusunda gösterelim.
(+9) – (+5) = (+9) + (-5)
= +4 tür.

+9

-(+5)

, , , , , , , , , , , , ,
-1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10


+4

Örnekler:
1. Aşağıdaki çıkarma işlemlerini inceleyelim.

a) (-17) – (-7) = (-17) + (+7) = -10

b) (+19) - (+13) = (+19) + (-13) = +6

c)(-12) – (+8) = (-12) + (-8) = 20

d) (-3) – (-3) = (-3) +(+3) =0

e) (+11) – (-4) = (+11) + (+4) = +15

1. (-12) – (+7) + (-3) – (-19) işlemini yapalım.

= (-12) – (+7) + (-3) – (-19)
(Çıkarma işlemlerini toplama işlemine dönüştürelim.)
= (-12) + (-7) + (-3)+ (+19)
(Pozitif ve negatif sayıları ayrı ayrı toplayalım.)
= (-22) + ( +19)

= -3

TAM SAYILAR KÜMESİNDE ÇARPMA İŞLEMİ

Tam Sayıların Çarpımı
(+3) . (+4) işlemini yapalım.
(+3) . (+4) (+4) + (+4) + (+4) = +12 dir. Buna göre;

(+3) . (+4) = +12

Çarpanlar Çarpım

olur.

Aynı işaretli iki tam sayının çarpımı pozitif bir tam sayıdır.

Örnekler:
1. Aşağıdaki işlemleri inceleyelim.
a) (+4) . (+5) = +20

b) (-1) . (-1) = +1

c) (-7) . (-10) =+70 olur

2. (+3) . (-5) işlemini yapalım.

(+3) . (-5) = (-5) + (-5) = 15 tir.Buna göre

(+3) . (-5) = -15 veya

(-5) . (+3) = -15 olur.O halde,

Ters işaretli iki tam sayının çarpımı negatif bir tam sayıdır.

Örnekler:
1. Aşağıdaki çarpma işlemlerini inceleyelim.
a) (-4) . (+7) = -28

b) (+5) . (-2) = -10

c) (-1) . (+1) = -1

d) (+18) . (-10) = -180

2. Aşağıdaki çarpma işlemlerini inceleyelim.
a) (-2) . (+5) . (-4) veya (-2) . (+5) . (-4)

= (-10) .(-4) = [(-2) . (-4)] . (+5)

= +40 = (+8) . (+5)

= +40 olur.

b) (-7) . (+1) . (-2) . (-6)

= (-7) . (+12)

= -84

c) (-12) . (-4) . (-5) . (-1)

= [(-12) . (-1)] . [(-4) . (-5)]

= (+12) . (+20) = +240 olur.

3. Aşağıdaki karışık işlemleri inceleyiniz.Önce çarpma işlemlerinin yapıldığına dikkat ediniz.
a) (-13) . (-4) + (+7) . (-8)

= (+52) + (-56)

= -4

b) (-18) . (+5) + (-12) . (-4) + (-7) . (-3) + (-11) . (+2)

= (-90) + (+48) + (+21) + (-22)

= (-112) + (+69)

= -43



Tam Sayıların Kuvveti
Bir tam sayının kendisi ile kaç defa çarpıldığını gösteren sayıya o tam sayının kuvveti denir.
2 Kuvvet
(+5)2 ifadesinde; (+5) Tabandır.

Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

(-2)1 = -2

(-2)2 = (-2) . (-2) = +4

(-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = (+4) . (-2) = -8

(-2)4 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = (+4) = +16

(-2)5 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2)

= (+4) . (+4) . (-2)

= (+16) . (-2)

= -32
dir.



Negatif tam sayıların çift kuvvetleri pozitif,tek kuvvetleri negatif bir tam sayıdır.

(+3)2 = (+3) . (+3) = +9

(+3)3 = (+3) . (+3) . (+3) = (+9) . (+3) = +27

(+3)4 = (+3) . (+3) . (+3) . (+3) = 81


Pozitif bir tam sayının,çift kuvveti de tek kuvveti de pozitif bir tam sayıdır.

Aşağıdaki işlemleri inceleyelim.
(-10)3 = -1000 (-7)1 = -7

(-10)4 = +10000 (+13)1 = +13

(-3)3 = 27 01 = 0

Doğal sayılardaki çözümlemeden ; 10o = 1 oluyordu.
Sıfırdan farklı bir tam sayının sıfırıncı kuvveti; +1’dir.
Buna göre;
(-1)o =1 (+100)o = +1

(-10)o = +1 (-1000)o = +1



TAM SAYILAR KÜMESİNDE BÖLME İŞLEMİ

İki Tam Sayının Birbirine Bölümü

(-3) . (+4) = -12 dir.


Çarpma işleminde çarpım,çarpanlardan birine bölündüğünde diğer çarpan elde edileceğinden;

(-12) : (-3) = +4
(-12) : (+4) = -3 bulunur.

Yukarıda görüldüğü gibi negatif iki tam sayının birbirine bölümü pozitif,ters işaretli iki tam sayının birbirine bölümü ise negatif bir sayıdır.O halde;
Aynı işaretli iki tam sayının bölümü pozitif ve ters işaretli iki tam sayının bölümü negatif bir sayıdır.

1. Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
a) (-7) . (-5) = +35 olduğundan, (+35) : (-7) = -5

b) (+8) . (+6) = +48 “ (+48) : (+8) = +6
c) (-4) . (+5) = -20 “ (-20) : (+5) = -4

d) (+3) . (-5) = -15 “ (-15) : (-5) = +3
olur

2. [(-4) . (-15)] : (3) = ? “Önce parantezin içindeki işlemler yapılır.”

= [(-4) . (-15)]: (-3)

= (+60) : (-3)

= -20

3. [(-84) + (+12)] : [(-21) + (+15)]

= (-72) : (-6) = +12 bulunur.

Bölme İşleminde “1” ve “0” Sayısı

(+5) : (+1) = (+5) Bir tam sayının +1’e bölümü o sayının kendisine eşittir.
(-5) : (+1) = (-5)

(-7) : (-1) = +7 Bir tam sayının –1’e bölümü o tam sayının toplamaya göre
(+7) : (-1) = -7 tersine eşittir.
0
0 : (-3) = 0 veya = 0 Sıfırın sıfırdan farklı tam sayıya bölümü “0” dır.
-3


0 : (+3) = 0

(+4) : 0 = Tanımsız
Bir tam sayının “0” a bölümü tanımsızdır.
(-4) : 0 = Tanımsız

0 : 0 = Tanımsız


Bir Tam Sayıyı 10 ve 10’un Kuvvetlerine Kısa Yoldan Bölme
Aşağıdaki bölme işlemlerini inceleyelim.
(-30) : 10 = -3

(-125) : 102 = -125 : 100 =1,25
(+4300) : 103 = +4300 : 1000 = 4,300 = 4,3

(-17000) : 104 = 1,7000 = -1,7 olur.

Bir tam sayıyı 10’un kuvvetlerine kısa yoldan bölmek için; o tam sayının rakamları kuvvet sayısı kadar sağdan sola doğru sayılarak virgülle ayrılır.


(-24) : 103 işleminde –24 sayısını sağdan 3 basamak ayırırsak

(-24) : 103 = -0,024

olur.

(-5) : 102 = -0,05 olur.