Orta Öğretim Kurumlarına  Girişte Yeni Sistem: SEVİYE BELİRLEME SINAVI ( SBS)

PERMÜTASYON VE OLASILIK

1.Permütasyonun özellikleri ve örnekler:

Tanım : n elemanlı bir A kümesinin birbirinden farklı r, (r £ n) elemanının herbir sıralanışına A kümesinin r li bir permütasyonu denir. n = r olması durumunda sıralı n  lilerin herbirine A kümesinin bir permütasyonu denir.

n elemanlı bir A kümesinin r li permütasyonlarının sayısı P(n , r) biçiminde gösterilir.

Teorem : P(n,r) =                          dir. [özel olarak P(n, n) = n! dir.]

Örnek:                                                         olur.

Örnek 2:                                                              dır.

Örnek 3: A={a, b, c} olduğuna göre, A nın 2 li permütasyonlarının sayısını bulunuz.

A nın 2 li permütasyonlarının sayısı 6 dır.Bunlar:

(a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b) dir.

Teorem: E örnek uzayında iki olay ve A ve B olsun. A nın E ye göre tümleyeni A' olduğuna göre,

1)       P(Ø) = 0

2)       P Ì ise, P(A) £ P(B)

3)       P(A') =1-P(A)

4)       P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(A ÇB) dir.

      Örnek :

Örnek: 5 farklı kitap, 5 kitap konabilen bir kaba kaç değişik biçimde dizlir?

                                     5                5!        5!

P(5,5) =                                    =         =          = 120 dir.

2. Faktöriyel kavramı:

n Î  olmak üzere 1den n ye kadar doğal sayıların çapımına n faktöryel denir ve n! ile gösterilir.

n! ise

n! = n(n-1)(n-2)...1 dir.

Örnek :  5! i değişik biçimlerde yazınız.  

5! = 5.4.3.2.1       5! = 5.4.3.2!

5! = 5.4.3!            5! = 5.4!

Örnek : (n-1)! i  değişik biçimlerde yazınız.

(n-1)! = (n-1)(n-2)(n-3)!

(n-1)! = (n-1)(n-2)!  gibi

3. Genel çarpma kuralı:

Bir işlem a yoldan, bununla ilişkili başka bir işlemde b yoldan yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte a.b yoldan yapılabilir.

Örnek : A  = {1,2,3,4,5,6,7} kümesinin alt elemanlarıyla kaç tane rakamları birbirinden farklı üç basamaklı 350 den büyük sayı yazılabilir?

İki tablo çizerek çözelim.

+

 (4,5,6,7)                                    (3)   (5,6,7)

4. Olasılık:

Tanım : İhitmal, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla uğraşır.Raslantı; sonucu önceden bilinmeyen, gerçekleşmesi şansa bağlı olan olaydır.Örneğin bir parayı havaya attığımızda yazı mı yoksa tura mı geleceğini deney yapmadan bilemeyiz.

Örnek :

Deney : Bir zarın havaya atılması.

Çıkanlar : 1, 2, 3, 4, 5, 6

Örnek Uzay : E={1,2,3,4,5,6}

A olayı : Zarın üst yüzüne 5 gelmesi.

B olayı : Zarın üst yüzüne 5 gelmemesi.

C olayı : Zarın üst yüzüne 3 gelmesi.

İmkansız Olay : Zarın üst yüzüne 7 gelmesi.

Kesin Olay : Zarın üst yüzüne 7’den küçük bir sayma sayısının gelmesi.

Zıt Olaylar : A ve B olayları

Ayrık Olaylar : A ve C olayları

Bir olayın ihtimali :

Evrensel kümeyi “E”, bir olayı “A” ve A olayının ihtimalinide P(A) ile gösterirsek :

ile gösterilir.Diğer ihtimal hesaplarıda bu ifadeye dayanır.

1.  Bir olayın ihtimali sıfır ile 1 arasında bir sayıdır.  0   ≤   P(A) ≤   1 dir
   1. P(A) = 0 ise A olayının gerçekleşmesi mümkün değil demektir.
   2. P(A) = 1 ise A olayı kesinlikle gerçekleşecek demektir. (Bir zarın 7’den küçük bir sayma sayısının gelmesi.)
2. P(A) + PA´) = 1, yani bir olay olur veya olmaz demektir.Bu ifadeyi, P(A) = 1 – P(A´) şeklindede düşünebiliriz.
3. Örnek uzayda gerçekleştirilen olayların ihtimalleri toplamı 1 dir.

A1,A2,A3,..., An olayları için

P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1 olur.

Örnek :

Hilesiz bir zar atıldığında, zarın 3 geme olasılığı nedir?

Çözüm :

Zar artıldığında örnek uzay : E={1,2,3,4,5,6}

Ve olay : A={3} dür.

P(A) =                     =               olur.

                   S(E)              6

Örnek :

Hilesiz bir zar atıldığında üst yüze tek sayı gelme ihtimali kaçtır?

Çözüm :

Zarın atılmasındaki tüm durumların sayısı 6 dır.İstenilenler 1 veya 3 veya 5 olduğu için, istenilen durum sayısı 3 dür.

P(tek sayı gelme) =              =              olur.

6                                 2

Örnek : 3 para aynı anda masaya atılıyor.Üste gelen yüzlerinin;

a. en az ikisinin yazı gelmesi,

b. birinci paranın yazı gelmesi,

c. her üç paranın aynı olması ihtimali kaçtır?

Çözüm :

Üç paranın atılması deneyinde tüm çıkanların kümesi ,

E = {YYY,YYT,YTY,YTT,TYY,TTY,TYT,TTT} dir.

a. A olayı en az iki yazı gelme olayı A ise,

A={YYY,YYT,YTY,TYY} olur.

P(A) =     4         =  1

b. 1.paranın yazı gelmesi olayı B ise

B={YYY,YYT,YTY,YTT} dir.

P(B) =   4         =        1              dir.

c. Her üç paranın aynı gelme olayı C ise

C={YYY,TTT} olduğundan,

P(C) =    2      =        1

Geçmiş yıllarda çıkmış sorular :

Soru 1:     1      ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? (1995 FL)

          4!                    1!                   4!                   3!

A)                    B)                C)                    D)

Çözüm:

             4!                   4!                    1!

                                                                               Cevap : A

Soru 2: Bir kutudaki 20 kalemden 11’i sağlam, geri kalanıda kırıktır.Kutuya geri atmamak şartıyla arka arkaya çekilen iki kaleminde kırık olma olasılığı nedir? (1995 FL)

A)   9        B)   7        C)   11        D)   18

Çözüm :

              20 kalemden 11’i sağlam 9’u kırıktır.

       P(A) = s(A)    ve çekilen kalemler kutuya geri atılmadığından;

Çekilen 1. kalemin kırık olma olasılığı    9    ,

Çekilen 2. kalemin kırık gelme olasılığı    8      dur.Buradan;

P(A) =  9        8               18

                         *               =                        olur.

                                                                                         Cevap : D

Soru 3: Bir rafta 5 tane matematik, 2 tane edebiyat ve 3 tane tarih kitabı vardır.Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekilde yanyana sıralanabilir? (1996 FL)

A) 30       B)90        C)1440        D)8640

Çözüm :

                Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılamayacağından;

5 Matematik kitabı = 5! şeklinde

2 Edebiyat kitabı = 2! şeklinde

3 Tarih kitabı = 3! Şeklinde sıralanır.

       MMMM            EE             TTT

Burada Matematik, Edebiyat ve Tarih kitapları birer kitap gibi düşünülür; böyle olunca; 3! Şeklinde de bunlar sıralanır. Öyleyse;

3! . (5! . 2! . 3!) = 8640 olur.                                          Cevap : D

Soru 4: Bir torbada 6 kırmızı, 4 mavi, 5 yeşil top vardır.Torbadan rastgele çekilen 1 topun yeşil olmaması olasılığı kaçtır? (1997 FL)

A)  1        B)   1        C)   2       D)   3

Çözüm :

P(A) = s(A)    ve P(A) + P(A’)

P(Y) =     5    =  1

                                                P(Y) + P(Y’) = 1 olduğundan;

1                                            

     P(Y’) = 1        P(Y’) = 1-   1   =   2     olur.            Cevap : C

Soru 5:  n bir doğal sayı olmak üzere;

(n-1)! + n! + (n+1)!                   işleminin sonucu aşağıdakilerden 

                                                   hangisine eşittir?      (1997 FL)     

A) n+1        B)      2n       C)           n+1       D)     n-1  

Çözüm :

          ₌       (n-1)! + n . (n-1)! + (n+1) . n . (n-1)!